Question

已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º

(1)如图所示，求证：DA+DB=DC

(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH=              .

Answer

（1）详见解析；（2）DA-DB=DC；(3)

【解析】

（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=CD，即可得结论；

（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；

（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．

证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点

∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°

∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°

∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC

∴△ACD≌△BCQ（AAS）

∴CD=CQ，AD=BQ

∴DQ=DB+BQ=DB+AD

∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°

∴DQ=CD

∴DB+AD=CD

（2）DA-DB=CD

理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠CAB=45°

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∴点A，点B，点D，点C四点共圆，

∴∠ADC=∠ABC=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴QD==CD

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACQ≌△BCD（SAS）

∴AQ=BD

∴QD=CD=DA-AQ=DA-BD，

即：DA-DB=

（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∴点A，点B，点C，点D四点共圆，

∴∠CDQ=∠CAB=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴△DCQ是等腰直角三角形，

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACD≌△BCQ（SAS）

∴AD=BQ，

∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3

∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB

∴CH=DH=HQ=DQ=．

故答案为：．