Question

若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，﹣2)都是“整点”．抛物线y＝mx²﹣4mx+4m-2(m0)与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则m的取值范围是(   )

A. <m≤1 B. ≤m<1 C. 1<m≤2 D. 1<m<2

Answer

A

【解析】

画出图象，利用图象可得m的取值范围

∵y=mx2-4mx+4m-2=m（x-2）2-2且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-2），对称轴是直线x=2．
由此可知点（2，0）、点（2，-1）、顶点（2，-2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，-1）和（3，-1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，-1）代入y=mx2-4mx+4m-2得到-1=m-4m+4m-2．解得m=1．
此时抛物线解析式为y=x2-4x+2．
由y=0得x2-4x+2=0．解得x1=2- ≈0.6，x2=2+≈3.4．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
则当m=1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，-1）、（3，-1）、（2，-1）、（2，-2）这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】

答案图1（m=1时）            答案图2（ m=时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．
此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y=mx2-4mx+4m-2得到0=0-4m+0-2．解得m=，

此时抛物线解析式为y=x2-2x．
当x=1时，得y=×1-2×1=-＜-1．∴点（1，-1）符合题意．
当x=3时，得y=×9-2×3=-＜-1．∴点（3，-1）符合题意．
综上可知：当m=时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，-1）、（3，-1）、（2，-2）、（2，-1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m=不符合题．
∴m＞．
综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，
故选：A．