Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

(1)求证：CG是⊙O的切线．

(2)求证：AF=CF．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

【解析】
(1)证明：连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切线；

(2)证明：连结AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵AC弧=CE弧，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；(也可由OA=OC直接证)