Question

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer

（1）55°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OC．已知AP是⊙O的切线，根据切线的性质可得∠PAB＝90°，再由直角三角形的两锐角互余求出∠B=55°，最后利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可解决问题；（2）如图②中，连接OC，OD，AC．根据已知条件易证△ODC≌△ODA，由全等三角形的性质可得∠OCD＝∠OAD＝90°，由此即可证得结论.

【解析】
（1）如图①中，连接OC．

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥AB，

∴∠PAB＝90°，

∵∠P＝35°，

∴∠B＝55°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB＝55°，

∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°．

（2）如图②中，连接OC，OD，AC．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ACP＝90°，

∵AD＝DP，

∴DC＝DA＝DB，

∵OA＝OC，OD＝OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS），

∴∠OCD＝∠OAD＝90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线．