Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．

（1）求证：DQ=PQ；

（2）当tan∠APD=时，求：①CQ的长；②BG的长．

Answer

（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．

【解析】

（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠APD=∠QDP．等量代换得到∠QPD=∠QDP，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①过Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根据勾股定理得到PD= ，DQ= ，于是得到结论；②根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABDF是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠APD=∠QDP．

∵∠APD=∠QPD，

∴∠QPD=∠QDP，

∴DQ=PQ；

（2）【解析】
①过Q作QE⊥PD于E，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∵tan∠APD=，AD=2，

∴AP=1.5，

∴PD==，

∵DQ=PQ，

∴DE=PE=，

∵∠APD=∠QPD，

∴tan∠APD==tan∠QPD=，

∴QE=，

∴DQ==，

∴CQ=DQ-CD=；

②∵AB=2，AP=1.5，

∴PB=，

∵CQ∥PB，

∴△CQG∽△BPG，

∴=，

∴=，

∴BG=．

故答案为：（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．