Question

若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x²-2x-3=0的两根为x₁=3，x₂=-1，因为x₁是x₂的-3倍，所以x²-2x-3=0是倍根方程．

（1）说明x²-8x+12=0是倍根方程；

（2）请写出一个倍根方程，使其中一根为1；

（3）已知关于x的一元二次方程x²-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程，其中m是整数，试探索m的取值条件．

Answer

（1）见解析；（2）x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；（3）m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程．

【解析】

（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可；

（2）根据倍根方程的定义写出方程；

（3）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义探索m的取值条件．

【解析】
（1）∵x2-8x+12=0

（x-2）（x-6）=0，

x1=2，x2=6，

∵6是2的3倍，

∴x2-8x+12=0是倍根方程；

（2）x2-3x+2=0的两根分别为1和2，

∴x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；

（3）x2-（m+3）x+2m+2=0

x2-（m+3）x+2（m+1）=0

（x-2）（x-m-1）=0

x1=2，x2=m+1，

则m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程．

故答案为：（1）见解析；（2）x2-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；（3）m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x2-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程．