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(操作体验) 如图①,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使...

(操作体验)

如图①,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法如下:

第一步:分别以点AB为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O

第二步:连接OAOB

第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交lP1P2;所以图中P1P2即为所求的点.

1)在图②中,连接P1AP1B,试说明∠AP1B=30°

(方法迁移)

2)已知矩形ABCD,如图③,BC=2AB=m

①若PAD边上的点,且满足∠BPC=60°的点P恰有1个,求m的值.

②当m=4时,若P为矩形ABCD外一点,且满足∠BPC=60°,求AP长的取值范围.

 

(1)说明见解析;(2)①m= 3;②AP长的取值范围为2<AP<4或4<AP<. 【解析】 (1)由圆周角定理可知∠AP1B= ∠AOB=30°; (2)①由题意可画出图形,当⊙O与AD相切且圆心角∠BOC=120°时,满足∠BPC=60°的点P恰有1个,此时可构造直角三角形,通过勾股定理,求出m的值; ②由题意可画出图形,当点P在弧BR和弧SC上(不含端点)运动时,满足∠BPC= ∠BOC=60°,分别求得AP长的范围即可得出答案. 【解析】 (1)由作法,可得OA=OB=AB, ∴△OAB为等边三角形, ∴∠AP1B=∠AOB=30°; (2)①如图1,在矩形内作∠BOC=120°,OB=OC,作直线OM⊥BC于M,交AD于P, 则PM⊥AD,∠BPC=∠BOC=60° 当⊙O与AD相切于点P时,满足∠BPC=60°的点P恰有1个, ∵BC=2,AB=m. ∴OB=OC=2, ∵OM=BO=1,OP=OB=2, ∴m=OP+OM=2+1=3; ②如图2,设⊙O与AB,CD的另一个交点分别为R,S, 当点P在弧BR和弧SC上(不含端点)运动时,满足∠BPC=∠BOC=60°, 当P在弧BR上运动时, P与R重合时,BR=BC=2,AP=2, P与B重合时,AP=4, 当P在弧SC上运动时, P与S重合时,AP=, P与C重合时,AP=, ∴当m=4时,P为矩形ABCD外一点,且满足∠BPC=60°,AP长的取值范围为2<AP<4或4<AP<. 故答案为:(1)说明见解析;(2)①m= 3;②AP长的取值范围为2<AP<4或4<AP<.
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