Question

（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；

第二步：连接OA，OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P₁，P₂；所以图中P₁，P₂即为所求的点．

（1）在图②中，连接P₁A，P₁B，试说明∠AP₁B=30°；

（方法迁移）

（2）已知矩形ABCD，如图③，BC=2，AB=m．

①若P为AD边上的点，且满足∠BPC=60°的点P恰有1个，求m的值．

②当m=4时，若P为矩形ABCD外一点，且满足∠BPC=60°，求AP长的取值范围．

Answer

（1）说明见解析；（2）①m= 3；②AP长的取值范围为2＜AP＜4或4＜AP＜．

【解析】

（1）由圆周角定理可知∠AP1B= ∠AOB=30°；

（2）①由题意可画出图形，当⊙O与AD相切且圆心角∠BOC=120°时，满足∠BPC=60°的点P恰有1个，此时可构造直角三角形，通过勾股定理，求出m的值；

②由题意可画出图形，当点P在弧BR和弧SC上（不含端点）运动时，满足∠BPC= ∠BOC=60°，分别求得AP长的范围即可得出答案．

【解析】
（1）由作法，可得OA=OB=AB，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AP1B=∠AOB=30°；

（2）①如图1，在矩形内作∠BOC=120°，OB=OC，作直线OM⊥BC于M，交AD于P，

则PM⊥AD，∠BPC=∠BOC=60°

当⊙O与AD相切于点P时，满足∠BPC=60°的点P恰有1个，

∵BC=2，AB=m．

∴OB=OC=2，

∵OM=BO=1，OP=OB=2，

∴m=OP+OM=2+1=3；

②如图2，设⊙O与AB，CD的另一个交点分别为R，S，

当点P在弧BR和弧SC上（不含端点）运动时，满足∠BPC=∠BOC=60°，

当P在弧BR上运动时，

P与R重合时，BR=BC=2，AP=2，

P与B重合时，AP=4，

当P在弧SC上运动时，

P与S重合时，AP=，

P与C重合时，AP=，

∴当m=4时，P为矩形ABCD外一点，且满足∠BPC=60°，AP长的取值范围为2＜AP＜4或4＜AP＜．

故答案为：（1）说明见解析；（2）①m= 3；②AP长的取值范围为2＜AP＜4或4＜AP＜．