Question

如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x，y轴上，已知OA＝3，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），CD＝5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A﹣C﹣B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒

（1）求B，C两点坐标；

（2）①求△OPD的面积S关于t的函数关系式；

②当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，求点E的坐标；

（3）在（2）②情况下，直线OP上求一点F，使FE+FA最小．

Answer

（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求

【解析】

（1）由四边形OACB是矩形，得到BC＝OA＝3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD＝ ＝4，OB＝5，从而求得点的坐标；

（2）①当点P在AC上时，OD＝1，BC＝3，S＝，当点在BC上时，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，得到S＝×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；

②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，得到点D的对称点是（1，0），求得E（1，0）；

（3）由点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，找到点F，从而确定AD的长度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD＝ ，即AF+EF的最小值＝．

【解析】
（1）∵四边形OACB是矩形，

∴BC＝OA＝3，

在Rt△BCD中，∵CD＝5，BC＝3，

∴BD＝ ＝4，

∴OB＝5，

∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①当点P在AC上时，OD＝1，BC＝3，

∴S＝，

当点在BC上时，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，

∴S＝ ×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；（t≥0）

②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，点D的对称点是（1，0），

∴E（1，0）；

（3）如图2∵点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，

则AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求．

故答案为：（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求