Question

已知：如图，四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．

（1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论；

（2）请你探究不同四边形的中点四边形的形状：

①当四边形ABCD变为平行四边形时，它的中点四边形是______；

②当四边形ABCD变为矩形时，它的中点四边形是______；

③当四边形ABCD变为菱形时，它的中点四边形是______；

④当四边形ABCD变为正方形时，它的中点四边形是______；

（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么性质决定的？

Answer

（1）四边形EFGH是平行四边形．见解析；（2）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．

【解析】

(1)连接BD，利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；

(2)应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可；

(3)由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的．

(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下：

如图1，连接BD，

∵E、H分别是AB、AD的中点，

∴EH是△ABD的中位线，

∴EH=BD，EH∥BD．

同理得FG=BD，FG∥BD．

∴EH=FG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

(2)①同理得：当四边形ABCD变为平行四边形时，它的中点四边形是：平行四边形；

②如图2，连接AC、BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∵EF=AC，EH=BD，

∴EF=EH，

∴四边形EFGH是菱形；

③∵四边形EFGH是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠FEH=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

④∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∴四边形EFGH是正方形．

(3)由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的．