Question

模型建立：

(1)如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．

求证：△BEC≌△CDA．

模型应用：

(2)已知直线l₁：y=x+4与y轴交与A点，将直线l₁绕着A点顺时针旋转45°至l₂，如图2，求l₂的函数解析式．

(3)如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．

Answer

(1)证明见解析；(2)y=x+4；(3)(4，2)，(，)，(，)．

【解析】

（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；

（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；

（3）当点D为直角顶点，分点D在矩形AOCB的内部与外部两种情况；点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部，由此可得出结论．

(1)∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CB=CA，

又∵AD⊥CD，BE⊥EC，

∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，

又∵∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△EBC(AAS)；

(2)过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，

如图1，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC为等腰Rt△，

由(1)可知：△CBD≌△BAO，

∴BD=AO，CD=OB，

∵直线l1：y=x+4，

∴A(0，4)，B(-3，0)，

∴BD=AO=4．CD=OB=3，

∴OD=4+3=7，

∴C(-7，3)，

设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，

∴，

∴，

∴l2的解析式：y=x+4；

(3)当点D位于直线y=2x-6上时，分两种情况：

①点D为直角顶点，分两种情况：

当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D(x，2x-6)；

则OE=2x-6，AE=6-(2x-6)=12-2x，DF=EF-DE=8-x；

则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：

12-2x=8-x，x=4；

∴D(4，2)；

当点D在矩形AOCB的外部时，设D(x，2x-6)；

则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，

∴AE=DF，即：2x-12=8-x，x=；

∴D(，)；

②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；

设点D(x，2x-6)，则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同(1)可得，△APB≌△PDF，

∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；

∴BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x；

联立两个表示BF的式子可得：

2x-12=16-x，即x=；

∴D(，)；

综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；

且D点的坐标为：(4，2)，(，)，(，)．