Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：(1)AD+BE=AC；(2)AD²+BE²=DE²；(3)△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；(4)OD=OE．其中正确的结论有(   )

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

由等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45°，CO⊥AO，由“ASA”可证△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO，由全等三角形的性质可依次判断．

∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，

∴AC=BC，CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45°，CO⊥AO

∵∠DOE=90°，

∴∠COD+∠COE=90°，且∠AOD+∠COD=90°

∴∠COE=∠AOD，且AO=CO，∠A=∠ACO=45°，

∴△ADO≌△CEO(ASA)

∴AD=CE，OD=OE，故④正确，

同理可得：△CDO≌△BEO

∴CD=BE，

∴AC=AD+CD=AD+BE，故①正确，

在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，

∴AD2+BE2=DE2，故②正确，

∵△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO

∴S△ADO=S△CEO，S△CDO=S△BEO，

∴△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；故③正确，

综上所述：正确的结论有①②③④，

故选D．