Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer

C

【解析】

由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段 的比．

连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，

∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴

，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=2，OE=3，
∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC

=

故选C．