Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，P是边AB上一动点，PE⊥CD，垂足为点E，PM⊥AB，交边CD于点M，AD=1，AB=5，CD=4．

（1）求证：∠PME=∠B；
（2）设A、P两点的距离为x，EM=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接PD，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，求AP的长．

Answer

（1）详见解析；（2）0≤x≤；（3）当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，AP＝或AP=1．

【解析】

（1）在四边形BCMP中，求出∠B+∠CMP=180°，又知∠PME+∠CMP=180°，于是证明出∠PME=∠B；
（2）作AH⊥BC于H，交PE于点F，首先证明出AF⊥PE，由于PF∥BH，列出比例等式，用x表示出PF和PE，再由△PEM∽△AHB列出y与x的关系式；
（3）分类讨论，当PM=PD和PM=DM分别根据等腰三角形的性质求出x的值，进而求出AP的值．

（1）证明：证法一：在四边形BCMP中，
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°，∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°． 
而∠PME+∠CMP=180°，
∴∠PME=∠B．
证法二：∵DC⊥BC，PM⊥AB，且∠PME与∠B都为锐角，
∴∠PME=∠B．
（2）作AH⊥BC于H，交PE于点F．
∵PE⊥CD，BC⊥CD，
∴PE∥BC．
∴AF⊥PE．
∵AH=CD=4，AB=5，
∴BH=3．
∵AD=1，
∴EF=1．
∵PF∥BH，
∴，

∴PF=x，
∴PE=x+1．
又∵∠PME=∠B，∠PEM=∠AHB=90°，
∴△PEM∽△AHB．
∴，

即
∴y＝

∵PE=x+1≤BC=4，
∴x≤，
定义域为0≤x≤．
（3）（ⅰ）当PM=PD时，DE=EM．
x＝x+．
解得x＝，即AP＝．
（ⅱ）当PM=DM时，

(x+1)＝x+x+．
解得x=1，即AP=1．
综上所述，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，AP＝或AP=1．