Question

如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF。

（1）求证：△EBF≌△DFC；

（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（3）①△ABC满足_____________________时，四边形AEFD是菱形。（无需证明）

②△ABC满足_______________________时，四边形AEFD是矩形。（无需证明）

③△ABC满足_______________________时，四边形AEFD是正方形。（无需证明）

Answer

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）①AB=AC②∠BAC=150°，③AB=AC，∠BAC=150°

【解析】试题（1）由三角形BCF与三角形AEB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；

（2）可通过证△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后证△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；从而证得四边形ADFE的两组对边分别相等，即可得出ADFE是平行四边形；

（3）①当∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形；

②当AE=AD时，ADFE是菱形；

③当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立（2）（3）的结论即可．

试题解析：（1）连接EF、DF，

∵△ABE、△CBF是等边三角形，

∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；

∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF；

∴△EFB≌△ACB；

∴EF=AC=AD；

（2）同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；

（3）①由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形；若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；

②由（2）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；

③综合①②的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．