Question

    如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求AB的长；

（2）延长DB到F，使BF＝BO，连接FA，请判断直线FA与⊙O的位置关系？并说明理由．

Answer

（1）AB＝2；（2）直线FA与⊙O相切．理由见解析.

【解析】

(1)易证△BAE∽△DAB，利用相似三角形的性质进行求解即可；

(2)连接OA，根据圆周角定理的推论得到∠BAD＝90°，求出BD的长，继而可得△OAB为等边三角形，再结合角的和差得到∠OAF＝90°，根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线.

(1)∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，

∴∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D，

而∠BAE＝∠DAB，

∴△BAE∽△DAB，

∴AB：AD＝AE：AB，即AB2＝AD•AE，

又∵AE＝2，ED＝4，

∴AD＝6，

∴AB2＝2×6＝12，

∴AB＝2；

(2)直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，如图，

∵BD为直径，

∴∠BAD＝90°，

∴BD＝，

∴∠D＝30°，

∴∠AOB＝60°，

∴△OAB为等边三角形，

∴AB＝BO，

又∵BF＝BO，

∴AB＝BF＝BO，

∴∠ABO＝∠AOB＝60°，∠F＝∠FAB，

∴∠F＝∠FAB＝∠ABO＝30°，

∴∠OAF＝∠FAB+∠BAO＝90°，

∴直线AF是⊙O的切线．