Question

已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且、，点D是第四象限的抛物线上的一个动点，过点D作直线轴，垂足为点F，交线段BC于点E

求抛物线的解析式及点A的坐标；

当时，求点D的坐标；

在y轴上是否存在P点，使得是以AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y，点A的坐标为；（2）点D的坐标为；（3）点P的坐标为，或．

【解析】

由点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标；

由点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出线段BC所在直线的解析式，设点D的坐标为，则点E的坐标为，点F的坐标为，进而可得出DE，EF的长，结合即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

由点A，C的坐标，利用勾股定理可求出AC的长度，分及两种情况考虑：当时，由AC的长度可得出CP的长度，结合点C的坐标即可得出点，的坐标；当时，由等腰三角形的性质可得出，结合点C的坐标即可得出点的坐标综上，此题得解．

【解析】
将，代入，得：

，解得：，

抛物线的解析式为．

当时，，

解得：，，

点A的坐标为．

设线段BC所在直线的解析式为，

将，代入，得：

，解得：，

线段BC所在直线的解析式为．

设点D的坐标为，则点E的坐标为，点F的坐标为，

，．

，

，

整理，得：，

解得：，舍去，

当时，点D的坐标为．

点A的坐标为，点C的坐标为，

，，

．

是以AC为腰的等腰三角形，

或．

当时，，

又点C的坐标为，

点的坐标为，点的坐标为；

当时，，

点的坐标为．

综上所述：在y轴上存在P点，使得是以AC为腰的等腰三角形，点P的坐标为，或．