Question

如图1，在中，点D、E分别在AB、AC上，，，

求证：；

若，把绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．

判断的形状，并说明理由；

把绕点A在平面内自由旋转，若，，试问面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；②

【解析】

利用平行线分线段成比例定理得出比例式即可得出，即可得出结论；

利用三角形中位线定理和，判断出，即：是等腰三角形，再判断出，得出是等腰直角三角形；

先判断出PM最大时，面积最大，即：点D在AB的延长线上，进而求出，即可得出PM的最大值即可．

【解析】
，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

理由：点P，M分别是CD，DE的中点，

，，

点N，M分别是BC，DE的中点，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

由知，是等腰直角三角形，，

最大时，面积最大，

点D在AB的延长线上，

，

，

．

故答案为