Question

如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=3∠CAD, BC=2．

（1）求△ABC的面积；（2）求CD的值．

Answer

（1）S△ABC=；（2）CD =4-2

【解析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM=BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；

（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM=，继而得CN=AC-AB=2- ，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.

(1) 过点A作AM⊥BC于M，

∵△ABC是等边三角形，

∴BM=CM=BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，

在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2 ，

∴AM 2+12=22 ，∴AM= ，

∴S△ABC=BC·AM =×2×=；

（2）∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠CAD=∠BAC=15°，

∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，

∴AD平分∠MAC ，

过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，

∴DM=DN，AN=AM=，

∴CN=AC-AB=2- ，

设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，

在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2 ，

x2+(2-)2=(1-x)2 ，解得：x=2-3，

∴CD=1-x=4-2 .