Question

已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，AB＝

(1) 如图1，求的面积.

(2) 如图2，E、F分别为上的动点，且∠ECF＝45°，求证：

Answer

（1）72（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；（2）连接OC,在OB上截取OM=AF，连接CM、ME,通过证得△ACF≌△OCM，得出CM=AF,∠OCM=∠ACF，再通过角度的计算得出∠ECM=∠ECF=45°，得到△ECF≌△ECM，得出ME=EF，然后在Rt△MOE中通过勾股定理证明.

（1）∵OA⊥OB

∴OA2+OB2=AB2

∵OA＝OB， AB＝

∴2OA2 =AB2

∴AO=BA=12

故S△ABO=

（2）连接OC,在OB上截取OM=AF，连接CM、ME,如图2，

∵△AOB, △COA, △OCB均为等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=∠BOC=45°，OC=AC，

在△ACF和△OCM中

∴△ACF≌△OCM，

∴CM=CF,∠OCM=∠ACF，

∵∠ACO=∠ACF+∠ECF+∠OCE=90°，∠ECF=45°，

∴∠ACF+∠OCE=45°=∠OCM+∠OCE=∠ECM=∠ECF

在△ECF和△ECM中

∴△ECF≌△ECM，∴ME=EF，

在Rt△MOE中，∠MOE=90°，

∴