Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.

求证：AD垂直平分EF.

Answer

详见解析.

【解析】

试题角平分线定理,可以得到DE=DF,证明△AED全等△AFD,得到∠EAD=∠FAD, AE=AF , △AEK和△AFK全等，利用三线合一,所以AD垂直平分EF,.

试题解析：如图，设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD垂直平分EF．