Question

如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．

（1）点A的坐标为　　；点B的坐标为　　；

（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；

（3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（4，0），（0，3）；（2）y=﹣x+3;（3）见解析．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）设OC=x，则AC=BC=4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；

（3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．由OM∥AB，可知S△AOB=S△ABM，由直线AB的解析式为，OM∥AB，推出直线OM的解析式为，由 解得 ，可得M，根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件．

【解析】
（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，

故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．

故答案为（4，0），（0，3）；

（2）设OC=x，

∵直线CD垂直平分线段AB，

∴AC=CB=4﹣x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

32+x2=（4﹣x）2，

解得

∴

∴设直线BC的解析式为y=kx+b，

则有

解得

∴直线BC的解析式为

（3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．

∵OM∥AB，

∴S△AOB=S△ABM，

∵直线AB的解析式为，OM∥AB，

∴直线OM的解析式为

由解得，

∴M，

根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件，易知BM′=BM，

设M′（m，n），则有

∴

∴M′

综上所述，满足条件的点M坐标为或．