Question

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根。

（1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根。

（2）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。

（3）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

Answer

（1）见解析；（2）当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）或，周长为14或16.

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；

（2）利由一元二次方程根与系数的关系，得：，，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；

（3）根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．

【解析】
(1)∵

，

∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)∵AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，

∴由一元二次方程根与系数的关系，得：，，

又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，由勾股定理，得：，

即，

∴，

整理，得：，解得：，，

∵AB、AC是△ABC的两条边，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0

而当时，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合题意，舍去，故，

∴当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（3）由（1）的结论可知，，∴BC边只能是腰，

∴AB、AC中必有一边长为5，不妨设AB＝5，

也就是说关于的一元二次方程必有一根为5，

∴，整理得：，解得：，，

当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝4，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为14，

当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝6，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为16.