Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；   

（2）连接DG，若AC∥EF时．

①求证：△KGD∽△KEG；   

②若，AK=，求BF的长．

Answer

（1）见解析；（2）①见解析，②

【解析】

（1）连接OG．根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线．（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE．②连接OG．，设，，，则，在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，；在Rt△OGF中，，，

（1）如图，连接OG．∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∴EF是⊙O的切线．

（2）①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，

又∠DKG=∠CKE，

∴△KGD∽△KGE．

②连接OG，如图所示．∵，AK=，

设，∴，，则

KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即，，，，则，

设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，

由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，，∴

在Rt△OGF中，，∴，

∴