Question

已知：如图，抛物线交x轴于A（－2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，6）．

（1）写出a，b，c的值；

（2）连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，过点A作AD⊥x轴，过点P作PD⊥BC于交直线AD于点D，设点P的横坐标为t，AD长为h．

①求h与t的函数关系式和h的最大值（请求出自变量t的取值范围）；

②过第二象限点D作DE∥AB交BC于点E，若DP=CE，时，求点P的坐标．

Answer

（1）a＝－1，b＝1，c＝6；（2）①，当时，h有最大值为 ，当＜t<3时，无最大值，②符合条件的点P的坐标为（2，4）．

【解析】

（1）根据待定系数法求解；（2）①如图，过点P作PG⊥x于点G，过点D作DK∥x轴交PG于点K，根据三角函数值和矩形性质得，再求最值；②如图，过点P作PH⊥AD交AD的延长线于点H，根据全等三角形判定和性质，△PHD≌△CNE（AAS），PH=CN=OC－ON，根据矩形性质，t＋2=，解得，（舍去），把t=2代入抛物线，可求点P（2，4）．当点D在第三象限时，不存在点P满足DP=CE．故符合条件的点P的坐标为（2，4）．

（1）根据题意得

所以，a＝－1，b＝1，c＝6；

（2）①如图，过点P作PG⊥x于点G，过点D作DK∥x轴交PG于点K，

∵PD⊥BC，DK⊥y轴，∠BCO=∠PDK，OB=3，OC=6，

∴tan∠BCO=tan∠PDK=，DK=t＋2，PK=DK=，

∵DK∥AB，AD⊥AB，∴四边形ADKG为矩形，

∴AD=KG，

h=AD=KG=|PG－PK|=

令，，，（不合题意，舍去）

∴

当0＜t≤时，

∴当时，h有最大值为

当＜t<3时，无最大值．

②如图，过点P作PH⊥AD交AD的延长线于点H，

∵PD⊥BC，∴∠PHD=∠ECE=90°－∠CMH

在△PHD与△CNE中，

，

∴△PHD≌△CNE（AAS），

∴PH=CN=OC－ON，

∵四边形ADNO为矩形，

∴CN==，PH=t＋2，

∴t＋2=，

解得，（舍去），

把t=2代入抛物线，∴点P（2，4）．

当点D在第三象限时，不存在点P满足DP=CE．

∴符合条件的点P的坐标为（2，4）．