Question

如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．

（1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线

（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）点E不存在，BE不能与⊙O相切，理由见解析

【解析】

（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可；
（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．

（1）连接OF、EF；

∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，

∴四边形ADEF是矩形，

∴AF＝DE，

∴EC＝BF，

∵E是CD的中点，

∴F是AB的中点，

∴OF∥BE，

∵FG⊥BE，

∴OF⊥FG，

∴FG为⊙O的切线．

（2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．

设DE＝x，则EC＝5﹣x．

由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，

即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25，

整理得x2﹣5x+9＝0，

∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，

∴该方程无实数根，

∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．