Question

阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形!

小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．

①求证：△ACE是奇异三角形：

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer

（1）真命题，理由见解析；（2）；（3）①见解析；②∠AOC的度数为60°或120°

【解析】

（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：；与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．

（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2，

∴符合奇异三角形”的定义．

∴是真命题；

（2）∵∠C＝90°，

则a2+b2＝c2①，

∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，

∴a2+c2＝2b2②，

由①②得：b＝a，c＝a，

∴a：b：c＝1：；；

（3）∵①AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，

∵点D是半圆弧ADB的中点，

∴弧AD=弧BD，

∴AD＝BD，

∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，

∴AC2+CB2＝2AD2，

又∵CB＝CE，AE＝AD，

∴AC2+CE2＝2AE2，

∴△ACE是奇异三角形；

②由①可得△ACE是奇异三角形，

∴AC2+CE2＝2AE2，

当△ACE是直角三角形时，

由（2）得：AC：AE：CE＝1：或AC：AE：CE＝：：1，

当AC：AE：CE＝1：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°；

当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．

∴∠AOC的度数为60°或120°．