Question

一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．

（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．

（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．

①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．

②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．

Answer

（1）3253不是“十三数”，254514是“十三数”（2）①证明见解析②满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878

【解析】

（1）根据题目中“十三数”的定义分析判断即可；

（2）①先设出一个四位的“同间数”再判断其除以101是否为整数即可证明；

②同①设出一个四位的“同间数”再根据“十三数”的定义分别求出最大值与最小值即可.

（1）【解析】
3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：

∵3﹣253=﹣250，不能被13整除，

∴3253不是“十三数”，

∵254﹣514=﹣260，﹣260÷13=﹣20

∴254514是“十三数”；（3分）

（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），

∵===10a+b，

∵a、b为整数，

∴10a+b是整数，

即任意一个四位“间同数”能被101整除；

②【解析】
设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），

∵=，（7分）

∵这个四位自然数是“十三数”，

∴101b+9a是13的倍数，

当a=1，b=3时，101b+9a=303+9=312，312÷13=24，此时这个四位“间同数”为：1313；

当a=2，b=6时，101b+9a=606+18=624，624÷13=48，此时这个四位“间同数”为：2626；

当a=3，b=9时，101b+9a=909+27=736，936÷13=72，此时这个四位“间同数”为：3939；

当a=5，b=2时，101b+9a=202+45=247，247÷13=19，此时这个四位“间同数”为：5252；

当a=6，b=5时，101b+9a=505+54=559，559÷13=43，此时这个四位“间同数”为：6565；

当a=7，b=8时，101b+9a=808+63=871，871÷13=67，此时这个四位“间同数”为：7878；

当a=9，b=1时，101b+9a=101+81=182，182÷13=14，此时这个四位“间同数”为：9191；

综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，

9191﹣1313=7878，

则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878．