Question

已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．

(1)求证：△ABM∽△NDA；

(2)连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形，证明见解析.

【解析】

试题（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；

（2）由四边形BMND为矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三角形的对应边成比例，可证得BM2=AB2，继而求得答案．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，

∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，

∴∠ABM=∠ADN=135°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，

∴△ABM∽△NDA；

（2）∵四边形BMND为矩形，

∴BM=DN，

∵△ABM∽△NDA，

∴，

∴BM2=AB2，

∴BM=AB，

∴∠BAM=∠BMA=