Question

如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S_△CEF＝2S_△ABE，其中结论正确的个数为（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer

B

【解析】

本题是四边形的综合题，利用三角形的知识解决即可.

解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴①说法正确；∵BC=DC，∴BC-BE=CD-DF，∴CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CFE=45°∴∠AFD=75°∴∠DAF=15°∴②正确；∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BCA=45°∴AC⊥EF又CE=CF∴AC垂直平分EF，∴③正确；在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，则∠DAF=∠GFA=15°，∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG= ，∴AD=CD=2+ ，CF=CE=CD-DF=1+ ，∴EF= CF= + ，而BE+DF=2，∴④说法错误；

∵S △ABE +S ADF =2S △ABE =2× AD×DF=2+ ，

S △CEF = CE×CF= ，∴⑤正确

故选B.

定睛：本题考察的知识点为正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．利用知识点逐个进行证明.