Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN。

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。

∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线。

（2）连接CD，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD=。

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED =90°。

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴，即。

解得：AC=15。

∴⊙O的半径是7.5cm。

【解析】

试题（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

试题解析：（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE．

∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°．

即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴．

连接CD．

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE．

∴．

∴．

则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm．