Question

如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．

（1）求证：∠ABC＝∠ACE；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；

（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；

（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；

（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．

【解析】
（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，

∴，

∴∠CAE＝∠ABC，

∵AE＝CE，

∴∠CAE＝∠ACE，

∴∠ABC＝∠ACE；

（2）如图，连接OB，

∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，

∴∠OBP＝90°，

设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，

则∠PEB＝2x，

∵OB＝OC，AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，

∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，

∴∠OBE＝90°﹣2x，

∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠PEB＝∠PBE，

∴PB＝PE；

（3）如图，连接OP，

∵点N为OC中点，AB⊥CD，

∴AB是CD的垂直平分线，

∴BC＝OB＝OC，

∴△OBC为等边三角形，

∵⊙O半径为，

∴CN＝，

∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，

∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，

∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，

∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，

∴PO＝=，

∴PQ的最大值为PO+＝+．