Question

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB

外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer

【解析】
（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA 。

∴∠DAO=∠DOA =30°, ∠EOA=90° 。∴∠AEO =60° 。

又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°。∴BC∥AE。

∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB。

∴四边形ABCE是平行四边形。

（2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x。

在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=。

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即 ，解得，。

∴OG=1。

【解析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形。

（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可。