Question

已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：

（1）MC是⊙O的切线；

（2）△DCF是等腰三角形．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠2+∠3=90°，再证明∠1=∠3得到∠1+∠2=90°，即∠OCM=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；

（2）利用EG⊥AB得到∠B+∠BFH=90°，利用对顶角相等得到∠4+∠B=90°，而根据切线的性质得到∠5+∠3=90°，从而得到∠4=∠5，然后根据等腰三角形的判定定理可得结论．

证明：（1）连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

即∠2+∠3＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠3，

而∠1＝∠B，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝90°，

即∠OCM＝90°，

∴OC⊥CM，

∴MC是⊙O的切线；

（2）∵EG⊥AB，

∴∠B+∠BFH＝90°，

而∠BFH＝∠4，

∴∠4+∠B＝90°，

∵MD为切线，

∴OC⊥CD，

∴∠5+∠3＝90°，

而∠3＝∠B，

∴∠4＝∠5，

∴△DCF是等腰三角形．