Question

已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且 AD=AB，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 H．

（1）如图 1，若∠BAC=60°．

①直接写出∠B 和∠ACB 的度数；

②若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；

（2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）①45°，②；（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．证明见解析.

【解析】

（1）①先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=30°，由等腰三角形的性质得∠B=75°，最后利用三角形内角和可得∠ACB=45°；②如图 1，作高线 DE，在 Rt△ADE 中，由∠DAC=30°，AB=AD=2 可得 DE=1，AE=， 在 Rt△CDE 中，由∠ACD=45°，DE=1，可得 EC=1，AC= +1，同理可得 AH 的长；（2）如图 2，延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 的中点 G，连接 GH，易证△ACH≌△AFH，则 AC=AF，HC=HF， 根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AG=AH，再由线段的和可得结论．

（1）①∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AB=AD，

∴∠B==75°，

∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°；

②如图 1，过 D 作 DE⊥AC 交 AC 于点 E，

在 Rt△ADE 中，∵∠DAC=30°，AB=AD=2，

∴DE=1，AE=，

在 Rt△CDE 中，∵∠ACD=45°，DE=1，

∴EC=1，

∴AC=+1，

在 Rt△ACH 中，∵∠DAC=30°，

∴CH=AC=

∴AH===；

（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．

证明：如图 2，延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 的中点 G，连接 GH．

易证△ACH≌△AFH，

∴AC=AF，HC=HF，

∴GH∥BC，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠AGH=∠AHG，

∴AG=AH，

∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2（AB+BG）=2AG=2AH．