Question

从今年开始，“金鸡百花电影节”长期落户厦门，为了主场馆更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射。其中一组灯光如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉投射．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)²=0．假定舞台前后幕布是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

Answer

（1）a=3，b=1；

（2）当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（3）∠BAC：∠BCD=3：2

【解析】

（1）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，再讨论灯A射线转到AN之前与之后.

（2）设灯A射线转动时间为t秒，分别用t表示∠BCD，∠BAC即可.

（1）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，

①在灯A射线转到AN之前，∠BAC

3t=（20+t）×1，

解得t=10；

②在灯A射线转到AN之后，

3t-3×60+（20+t）×1=180°，

解得t=85，

综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（2）设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-3t，

∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，

而∠ACD=90°，

∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，

∴∠BAC：∠BCD=3：2，

即2∠BAC=3∠BCD．