Question

细心的小明发现，一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的“秘密”关系．

（1）当x＝1时有a+b+c＝0，当x＝﹣1时有a﹣b+c＝0．若9a+c＝3b，求x；

（2）若2a+b＝0，3a+c＝0，写出满足条件的一个一元二次方程，并求另一个根；

（3）当老师写出方程2x²﹣3x﹣1＝0，要求不解方程判断根的情况时，小明立即回答，有两个不相等的实数根．据此，你能根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数量关系，写出一些关于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的规律吗？请写一写（至少两条）．

Answer

（1）x＝﹣3（2）x2-3x-4=0;x2＝4；（3）见解析.

【解析】

（1）直接通过观察对比可得出答案.

（2）由题意可知一个根为-1，再举例即可.

（3）根据根的判别式和韦达定理解答即可.

（1）∵9a+c＝3b，

∴9a﹣3b+c＝0，

∴x＝﹣3，

（2）∵

②﹣①得：a﹣b+c＝0，

∴x＝﹣1，

符合条件的方程可以为：x2﹣3x﹣4＝0，

（x﹣4）（x+1）＝0，

x1＝4，x2＝﹣1，

（3）2x2﹣3x﹣1＝0，

因为a＝2，c＝﹣1，可知：ac＜0，

∴△＝b2﹣4ac＞0，

根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数量关系，有：①当a与c异号时，△＞0，方程有两个不相等的实根；

②设方程ax2+bx+c＝0的两根x1、x2，满足x1+x2＝，x1x2＝．