Question

已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE．

求证：GF＝GC．

Answer

证明见解析

【解析】

由AB⊥BE和DE⊥BE可得∠B＝∠E＝90°，由此可得△ABC和△DEF是直角三角形；又由BF＝CE可得CB＝EF，再加条件AC＝DF，可以用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此可以得到∠ACB＝∠DFE，利用等角对等边可证出GF＝GC．

证明：∵AB⊥BE

∴∠B＝90°

∵DE⊥BE

∴∠E＝90°

∵BF＝CE

∴BF+CF＝CE+CF

即：CB＝EF

在Rt△ABC和Rt△DEF中 ，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

∴∠ACB＝∠DFE

∴GF＝CG.