Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝2²﹣0²，12＝4²﹣2²，20＝6²﹣4²，因此4，12，20都是“神秘数”

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？

Answer

(1)28和2012是神秘数（2）是4的倍数（3）8k不能整除8k+4

【解析】

（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.

（1）设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：

(2m+2)2-(2m)2=52，

8m+4=52，

m=6，

∴2m=12，2m+2=14，即142-122=52，

∴52是“神秘数”.

(2m+2)2-(2m)2=200，

8m+4=200，

m=2.5，

∴2m=5

∴200不是“神秘数”.

（2）是；理由如下：

∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，

∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.

（3）由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，

∵2n-1是奇数，

∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，

设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，

则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.

∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，

∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.