Question

四位同学在研究函数y₁＝ax²＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y₁＝ax²＋ax－2a总不经过点P(x₀－3，x₀²－16)，则符合条件的点P有且只有2个；丙发现若直线y₂＝kx＋b与函数y₁交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y₃＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x₁，y₁)(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＋1＝0．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(  )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

Answer

C

【解析】

甲：令y=0可求得对应方程的两根，可求得二次函数与x轴的交点，可证得结论；

乙：根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），即可求得点P的坐标，

丙：由甲结论可知y2＝kx＋b经过（1，0）或（-2，0）．代入即可验证，

丁：根据二次函数和一元二次方程关系可知x1、x2是ax2＋ax－2a＝m的根，可得x1＋x2=-1，从而判断结论正确.

【解析】

甲：∵y1＝ax2＋ax－2a=a（x+2）（x-1），

当y=0时，a（x+2）（x-1）=0，

解得x1=1，x2=-2．

∴二次函数的图象与x轴的交点为（1，0）、（-2，0）．

∴不论a为何值，该二次函数的图象经过x轴上的定点（1，0）和（-2，0）．

故甲结论正确；

乙：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），

∴x02-16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a，

∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4），

∴（x0+4）≠a（x0-1），

∴x0=-4或x0=1，

∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15），故乙的结论正确，

丙：由前可知函数y1＝ax2＋ax－2a与x轴交点为（1，0）、（-2，0），

当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于正半x轴上同一点时，k+b=0，即-k=b，

当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于负半x轴上同一点时，-2k+b=0，即b=2k.

故乙错误；

丁：∵x1、x2是ax2＋ax－2a＝m的两根，

∴x1+x2=-1，

∴x1＋x2＋1＝0，故丁正确；

故选：C.