Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．

(1)求证：直线BF是⊙O的切线．

(2)若CD=2，OP=1，求线段BF的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)BF=.

【解析】

（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．

（2）连接OD，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF，=，由此即可解决问题．

(1)∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，

∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，

∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．

(2)连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=0.5CD=，

∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，

∴=，∴=，∴BF=．