Question

△ABC和△ADE是有公共顶点的三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1) ①如图1，∠ADE＝∠ABC＝45°，求证：∠ABD＝∠ACE．

②如图2，∠ADE＝∠ABC＝30°，①中的结论是否成立？请说明理由．

(2)在(1) ①的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，画图并求PB的长度．

Answer

（1）见详解

（2）结论仍成立,理由见详解

（3）PB=或.

【解析】

（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；

②先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；

(2)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

【解析】
(1)①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE；

②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠ADE＝∠ABC＝30°，∴,,

∴,

∴△BAD∽△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE．

(2)作草图如图所示，分为两种情况：

①当点E在AB上时，

∵∠BAC＝∠DAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△AEC∽△BPE，∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴EB＝2，，

∴，解得．

②当点E在AB延长线上时，

∵∠BAC＝∠DAE，又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，

∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△ABD∽△DPC，

∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴DC＝2，，

∴，解得．

∴．

综上，或．