Question

如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．

（1）求证：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；

（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

详（1）证明：连接OC，如图，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵ED切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AD⊥ED；

（2）【解析】
OC交BF于H，如图，

∵AB为直径，

∴∠AFB=90°，

易得四边形CDFH为矩形，

∴FH=CD=4，∠CHF=90°，

∴OH⊥BF，

∴BH=FH=4，

∴BF=8，

在Rt△ABF中，AB=，

∴⊙O的半径为．