Question

已知点D、E分别是∠B的两边BC、BA上的点，∠DEB＝2∠B，F为BA上一点．

（1）如图①，若DF平分∠BDE，求证：BD＝DE+EF；

（2）如图②，若DF为△DBE的外角平分线，BD、DE、EF三者有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）EF＝DE+BD，证明见解析.

【解析】

（1）如图①，在BA上截取EG=DE，连接DG，得到∠EDG=∠EGD，根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）在BA上截取EG=DE，连接DG，则∠EDG=∠EGD，根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可得到结论．

（1）如图①，在BA上截取EG＝DE，连接DG，

则∠EDG＝∠EGD，

∵∠DEB＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，

∵∠DEB＝2∠B，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝DG，

∵DF平分∠BDE，

∴∠BDF＝∠EDF，

∵∠DFE＝∠B+∠BDF，∠FDG＝∠FDE+∠EDG，

∴∠DFG＝∠FDG，

∴DG＝GF，

∴FG＝BD，

∵FG＝EF+AE，

∴BD＝DE+EF；

（2）如图②在BA上截取EG＝DE，连接DG，

则∠EDG＝∠EGD，

∵∠DEB＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，

∵∠DEB＝2∠B，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝DG，

∵DF平分∠CDE，

∴∠CDF＝∠EDF，

∵∠DFE＝∠CDF﹣∠B，∠GDF＝∠EDF﹣∠EDG，

∴∠GDF＝∠DFG，

∴DG＝FG，

∴GF＝BD，

∵EF＝EG+GF，

∴EF＝DE+BD．