Question

如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC， FD=CD。求证：(1) Rt△BDF≌Rt△ADC (2) BE⊥AC

Answer

详见解析

【解析】

（1）在Rt△ACD和Rt△BFD中，根据直角边DC=FD和斜边AC=BF对应相等，可证明△BFD≌△ACD；
（2）由△ADC≌△BDF可得BF=AC，因为∠EBC=∠DAC，又因为∠DAC+∠ACD=90°，所以∠EBC+∠ACD=90°，则BE⊥AC．

（1）证明∵∠ADB=∠ADC=90°，

∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，

∵BF=AC，DF=DC ，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC，

（2）∵Rt△BDF≌Rt△ADC，

∴∠CAD=∠DBF，

∵∠AFE=∠BFD

∴∠CAD+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90°，

∴BE⊥AC．