Question

在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=　   　．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：

①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

Answer

（1）30°；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β；②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．

【解析】

（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；

（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分D在线段BC上时和当点D在线段BC延长线或反向延长线上时两种情况求解即可.

（1）【解析】
（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=30°，

∴∠DCE=30°.

故答案为30;；

（2）①【解析】
当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，

理由是：

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

②【解析】
当D在线段BC上时，α+β=180°，

理由如下： 

∵∠BAC=∠DAE， 

∴∠BAD=∠CAE； 

在△BAD与△CAE中， 

， 

∴△BAD≌△CAE（SAS）， 

∴∠B=∠ACE，

∴β=∠ABC+∠ACB，

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-α，

∴α+β=180°． 

故答案为α+β=180°；

当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β，证明如①.

∴当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．