Question

在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8．

（1）如图①若E从B到C运动，F从D到A运动且BE＝2DF，

（ i）当DF为何值时四边形ECDF是矩形．

（ ii）当DF为何值时EF＝2．

（2）如图②E在BC上，BE＝3，F在CD上，将△ECF沿EF折叠，当C点恰好落在AD边上的G处时，求折痕EF的长．

Answer

（1）（i）DF＝；（ii）DF＝2或；（2）EF＝．

【解析】

（1）（i）设DF＝m，BE＝2m，则EC＝8﹣2m，由矩形的性质可得DF＝EC，由此可得方程m＝8﹣2m，解方程即可求得m的值；（ii）分点E在点F的左边和点F在点E的左边两种情况求解；（2）过E作EH⊥AD于H，即可得BE＝AH＝3，EC＝5，由折叠的性质可得EG＝EC＝5，GF＝CF，由勾股定理求得HG＝3，即可得GD＝2，设GF＝FC＝x，则DF＝4﹣x，在Rt△GDF中，根据勾股定理可得22+（4﹣x）2＝x2，解方程求得x的值，即可得FC的长，再利用勾股定理求得EF的长即可.

（1）（i）设DF＝m，BE＝2m，则EC＝8﹣2m，

由矩形的性质：DF＝EC，

∴m＝8﹣2m

∴

∴；

（ ii）如图（1）过F作FM⊥BC于M，

∴FM＝AB＝4，EF＝ ，

∴勾股定理得 ，

∴BM+MC＝2m+2+m＝8，

∴m＝2；

如图（2）过E作FN⊥BC于N，

同理可得NE＝2，

∴BN+NC＝2m﹣2+m＝8，m=，

∴DF＝2或；

（2）过E作EH⊥AD于H，

∵BE＝AH＝3，

∴EC＝5，

由折叠的性质EG＝EC＝5，GF＝CF，

∵HE＝AB＝4，

∴，

∴GD＝AD﹣AH﹣HG＝2，

设GF＝FC＝x，则DF＝4﹣x，

在Rt△GDF中，GD2+DF2＝GF2

∴22+（4﹣x）2＝x2

解得 ，即，

∴ ．