Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过C作轴于B，

（1）求a，b的值；

（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由.

（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，图3，

    ①求：∠CAB＋∠ODB的度数；

    ②求：∠AED的度数.

Answer

（1）a=-2，b=2；（2）P（0，-4）或（0，4）；（3）①∠CAB＋∠ODB=90°；②∠AED=45°.

【解析】

（1）根据非负数的性质即可求得a、b的值；（2）先求得S△ABC=4，设P（0，t），根据S△OPC=OP×2=× ×2=4求得t值，即可求得点P的坐标；（3）①已知BD∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB=∠OBD，由∠OBD＋∠ODB=90°，即可得∠CAB＋∠ODB=90°；②根据角平分线的定义及①中的结论，可求得∠3+∠4=45°；过点E作EF∥AC，即可得EF∥BD∥AC，根据平行线的性质可得∠3=∠1，∠2=∠4，由此求得∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.

（1）∵，

∴a+2=0，b-2=0，

∴a=-2，b=2；

（2）∵a=-2，b=2，

∴A（-2，0），C（2，2），

∴S△ABC= AB•BC=×4×2=4；

设P（0，t），

∴S△OPC=OP×2=× ×2==4；

∴t=4或t=-4，

∴P（0，-4）或（0，4）．

（3）①∵BD∥AC，

∴∠CAB=∠OBD，

∵∠OBD＋∠ODB=90°，

∴∠CAB＋∠ODB=90°；

②∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3=,∠4=,

∵∠CAB＋∠ODB=90°，

∴∠3+∠4=+=45°，

过点E作EF∥AC，

∵BD∥AC，

∴EF∥BD∥AC，

∴∠3=∠1，∠2=∠4，

∴∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.