Question

如图1，抛物线y＝x²+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．

（1）若△ABC的面积为8，求m的值；

（2）在（1）的条件下，求的最大值；

（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．

Answer

(1)m=2;(2);(3) Q点的横坐标为2.

【解析】

（1）解方程x2＋（m－2）x一2m=0求出抛物线与x轴的交点，再令x=0，求出抛物线与y轴的交点，然后根据△ABC的面积为8，列方程求解即可；

（2）过点D作DF∥y轴交BC于F，求出点B、点C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，表示出DF的长，利用平行线分线段成比例定理列出关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出结论；

（3）设M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，联立一次函数与二次函数关系式，整理可得x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b. 过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L，由△MKA∽△QLH，列比利式整理可得(km－b)(n－2)＝0，然后分两种情况讨论可得点Q的横坐标．

(1) y＝x2＋(m－2)x－2m＝(x＋m)(x－2)，

令y＝0，则(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2，

∴A(－m，0)、B(2，0)，

令x＝0，则y＝－2m，

∴C(0，－2m)，

∴AB＝2＋m，OC＝2m.

∵S△ABC＝×(2＋m)×2m＝8，

解得m1＝2，m2＝－4，

∵m＞0，

∴m＝2；

(2) 过点D作DF∥y轴交BC于F，

由(1)可知：m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝x2－4，

∴B(2，0)、C(0，－4)，

∴直线BC的解析式为y＝2x－4.

设D(t，t2－4)，则F(t，2t－4)，

∴DF＝2t－4－(t2－4)＝－t2＋2t，OC＝4，

∵DF∥y轴，

∴＝＝＝－(t－1)2＋，

当t＝1时，有最大值为，此时D(1，3)；

(3) 设M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)，

联立，整理得x2＋(m－2－k)x－2m－b＝0，

∴x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b，

设点Q的横坐标为n，则Q(n，kn＋b)，

过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L，

∵MA∥PH，

∴△MKA∽△QLH，

∴＝，

即，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴k(－2m－b)＋b(2＋k－m)＋kmn＋bm－bn＝0，

∴(km－b)(n－2)＝0，

②km－b＝0，此时直线为y＝k(x＋m)，过点A(－m，0)，不符合题意，

②当n－2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2.