Question

如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．

(1)求证：DM=BM；

(2)求MH的长；

(3)如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，

设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；

(4)在(3)的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若不存,在请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）；（3）； （4）．

【解析】

试题（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据勾股定理即可得到结论；

（3）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；

（4）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可得出结论．

试题解析：解：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=∠ACB，CD=CB．在△DCM和△BCM中，∵CD=CB，∠DCM=∠BCM，CM=CM，∴△DCM≌△BCM，∴DM=BM；

（2）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，∴DH=4．在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH﹣DM=4﹣DM，BH=AB﹣AH=2，根据勾股定理得：DM2﹣MH2=BH2，即：DM2﹣（4﹣DM）2=4，∴DM=，∴MH=；

（3）在△BCM和△DCM中，∵CM=CN，∠ACD=∠ACB，CB=CD，∴△BCM≌△DCM，∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°．

①当P在AB之间时，即0＜t＜2.5时，S=（5﹣2t）×=﹣t+；

②当P在BC之间时，即2.5＜t≤5时，S=（2t﹣5）×=t﹣；

综上所述： ；

（4）存在．∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90°．∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM．∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠BAM．∵AM=AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM．∴MP=MB．∵MH⊥AB，∴PH=BH=2，∴BP=2BH=4．∵AB=5，∴AP=1，∴t==．