Question

四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．

（1）若点O在四边形ABCD的内部，

①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=      °；

②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．

（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．

Answer

（1）①125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由详见解析；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由详见解析.

【解析】

（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；

②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；

（2）g根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论．

【解析】
（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，

∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，

∴∠AEC=110°，

∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；

故答案为：125；

②∠B+∠C+2∠DOE=360°，

理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，

∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，

∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；

（2）∠B+∠C=2∠DOE，

理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，

∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），

∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），

∴∠B+∠C=2∠DOE．